Graphs of Motion Diskussion Einführung Warum gibt es so viele Gleichungen in diesem Buch Warum können die Physiker mit dem geschriebenen Wort wie alle anderen zufrieden sein Möchten es nicht einfacher sein, direkt zu sprechen, anstatt Ideen hinter mathematische Kryptogramme zu verbergen Die moderne mathematische Notation ist eine sehr kompakte Art und Weise Kodiere Ideen. Gleichungen können leicht die Informationen enthalten, die äquivalent zu mehreren Sätzen sind. Galileos Beschreibung eines Objektes, das sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vielleicht die erste Anwendung der Mathematik auf Bewegung) erforderte eine Definition, vier Axiome und sechs Theoreme. Alle diese Beziehungen können nun in einer einzigen Gleichung geschrieben werden. Wenn es um Tiefe geht, schlägt nichts eine Gleichung. Nun, fast nichts Denken Sie zurück auf den vorherigen Abschnitt über die Bewegungsgleichungen. Sie sollten sich erinnern, dass die drei (oder vier) Gleichungen, die in diesem Abschnitt vorgestellt wurden, nur für Bewegung mit konstanter Beschleunigung entlang einer geraden Linie gültig waren. Da, wie ich zu Recht betonte, das Quotenobjekt jemals in einer geraden Linie mit konstanter Beschleunigung irgendwo im Universum zu irgendeinem Zeitpunkt gereist ist, sind diese Gleichungen nur annähernd wahr, nur einmal in eine Weile. Gleichungen eignen sich hervorragend für die Beschreibung idealisierter Situationen, aber sie schneiden es nicht immer. Manchmal brauchst du ein Bild, um zu zeigen, was los ist 8212 ein mathematisches Bild namens Graph. Graphs sind oft der beste Weg, um Beschreibungen von realen Weltveranstaltungen in einer kompakten Form zu vermitteln. Bewegungsdiagramme kommen in verschiedene Arten, je nachdem, welche der kinematischen Größen (Zeit, Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung) welcher Achse zugeordnet sind. Verschiebungszeit Beginnen wir mit der Darstellung einiger Bewegungsbeispiele mit konstanter Geschwindigkeit. Drei verschiedene Kurven sind auf der Grafik rechts dargestellt, jeweils mit einer anfänglichen Verschiebung von Null. Beachten Sie zuerst, dass die Graphen alle gerade sind. (Jede Art von Linie, die auf einem Graphen gezeichnet wird, heißt Kurve, selbst eine Gerade wird in der Mathematik als Kurve bezeichnet.) Dies ist angesichts der linearen Natur der entsprechenden Gleichung zu erwarten. (Die unabhängige Variable einer linearen Funktion wird nicht höher als die erste Potenz angehoben.) Vergleichen Sie die Verschiebungszeitgleichung für konstante Geschwindigkeit mit der klassischen Slope-Intercept-Gleichung, die in der Einführungsalgebra gelehrt wird. Somit entspricht die Geschwindigkeit der Steigung und der anfänglichen Verschiebung zum Abfangpunkt auf der vertikalen Achse (üblicherweise als die Quotenachse bezeichnet). Da jeder dieser Graphen seinen Intercept am Ursprung hat, hatte jedes dieser Objekte die gleiche Anfangsverschiebung. Diese Grafik könnte eine Rasse von irgendeiner Art darstellen, wo die Kandidaten alle an der Startlinie aufgereiht waren (obwohl bei diesen Geschwindigkeiten ein Rennen zwischen Schildkröten gewesen sein muss). Wenn es ein Rennen wäre, dann sind die Kandidaten schon im Rennen begonnen, da jede Kurve am Anfang eine Nullspanne hat. Beachten Sie, dass die Ausgangsposition Null ist, nicht zwangsläufig, dass die Anfangsgeschwindigkeit auch Null ist. Die Höhe einer Kurve erzählt dir nichts von seinem Hang. Bei einer Verschiebungszeit-Graphenneigung ist die Geschwindigkeit gleich. Der Quotierungsabstand entspricht der anfänglichen Verschiebung. Wenn zwei Kurven zusammenfallen, haben die beiden Objekte zu diesem Zeitpunkt die gleiche Verschiebung. Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen können wir die Verschiebung eines Objekts mit einer konstanten, nicht null Beschleunigung ab dem Rest am Ursprung graphisieren. Der primäre Unterschied zwischen dieser Kurve und denen auf dem vorherigen Graphen ist, dass diese Kurve tatsächlich Kurven. Die Beziehung zwischen Verschiebung und Zeit ist quadratisch, wenn die Beschleunigung konstant ist und daher diese Kurve eine Parabel ist. (Die Variable einer quadratischen Funktion wird nicht höher als die zweite Macht angehoben.) Als Übung können wir die Beschleunigung dieses Objekts aus seinem Graphen berechnen. Es fängt den Ursprung ab, also ist seine anfängliche Verschiebung null, das Beispiel besagt, dass die Anfangsgeschwindigkeit Null ist und die Grafik zeigt, dass das Objekt in 10 s 9 m zurückgelegt hat. Diese Zahlen können dann in die Gleichung eingetragen werden. Wenn ein Verschiebungszeitgraphen gekrümmt ist, ist es nicht möglich, die Geschwindigkeit von seiner Steigung zu berechnen. Slope ist eine Eigenschaft von geraden Linien nur. Ein solches Objekt hat keine Geschwindigkeit, weil es nicht eine Steigung hat. Die Worte quotthequot und quotaquot sind hier unterstrichen, um die Idee zu betonen, dass es unter diesen Umständen keine einzige Geschwindigkeit gibt. Die Geschwindigkeit eines solchen Gegenstandes muss sich ändern. Seine Beschleunigung. Bei einem Verschiebungszeitdiagramm sind gerade Linien eine konstante Geschwindigkeit. Gekrümmte Linien implizieren Beschleunigung. Ein Gegenstand, der einer konstanten Beschleunigung unterliegt, verfolgt einen Teil einer Parabel. Obwohl unser hypothetisches Objekt keine einzige Geschwindigkeit hat, hat es immer noch eine durchschnittliche Geschwindigkeit und eine kontinuierliche Sammlung von momentanen Geschwindigkeiten. Die durchschnittliche Geschwindigkeit eines beliebigen Objekts kann durch Dividieren der Gesamtverschiebung um die Gesamtzeit gefunden werden. Dies ist das gleiche wie die Berechnung der Steigung der Geraden, die den ersten und letzten Punkt auf der Kurve verbindet, wie im Diagramm rechts dargestellt. In diesem abstrakten Beispiel war die durchschnittliche Geschwindigkeit des Objekts Als die Endpunkte der Linie der durchschnittlichen Geschwindigkeit näher zusammen kommen, werden sie ein besserer Indikator für die tatsächliche Geschwindigkeit. Wenn die beiden Punkte zusammenfallen, ist die Linie tangential zur Kurve. Dieser Grenzwert ist in der Animation rechts dargestellt. Bei einer Verschiebungszeit-Graph-Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Steigung der Geraden, die die Endpunkte einer Kurve verbindet. Die momentane Geschwindigkeit ist die Steigung der Linie, die an einer beliebigen Stelle tangential ist. Sieben Tangenten wurden zu unserem generischen Verschiebungszeitdiagramm in der oben gezeigten Animation hinzugefügt. Beachten Sie, dass die Steigung zweimal zweimal 8212 einmal an der Oberseite der Bump bei 3,0 s und wieder in der Unterseite der Delle bei 6,5 s ist. (Die Beute ist ein lokales Maximum, während die Delle ein lokales Minimum ist. Gemeinsam sind solche Punkte als lokale Extrema bekannt.) Die Steigung einer horizontalen Linie ist null, was bedeutet, dass das Objekt damals bewegungslos war. Da die Grafik nicht flach ist, war das Objekt nur für einen Augenblick in Ruhe, bevor es wieder anfing, sich wieder zu bewegen. Obwohl sich seine Position damals nicht änderte, war seine Geschwindigkeit. Dies ist eine Vorstellung, dass viele Menschen Schwierigkeiten haben mit. Es ist möglich, beschleunigt zu werden und doch nicht zu bewegen (aber nur für einen Augenblick natürlich). Beachten Sie auch, dass die Steigung im Intervall zwischen dem Bump bei 3 s und der Delle bei 6,5 s negativ ist. Manche interpretieren dies als Bewegung in umgekehrter Richtung, aber ist dies in der Regel der Fall Nun, das ist ein abstraktes Beispiel. Es ist nicht von irgendeinem Text begleitet. Grafiken enthalten viele Informationen, aber ohne Titel oder andere Form der Beschreibung haben sie keine Bedeutung. Was bedeutet diese Grafik darstellen Eine Person Ein Auto Ein Aufzug Ein Nashorn Ein Asteroid Ein Muttus des Staubes Über alles, was wir sagen können, ist, dass dieses Objekt sich zuerst bewegte, verlangsamte bis zum Anschlag, umgekehrte Richtung, hielt wieder an und fuhr dann fort, sich zu bewegen Richtung begann es mit (was auch immer Richtung war). Negative Steigung bedeutet nicht automatisch, rückwärts zu fahren oder nach links zu gehen oder herunterzufallen. Die Wahl der Zeichen ist immer willkürlich. Über alles, was wir im allgemeinen sagen können, ist das, wenn die Steigung negativ ist, das Objekt in die negative Richtung fährt. Bei einer Verschiebungszeitgrafik bedeutet positive Neigung eine Bewegung in positiver Richtung. Negative Neigung bedeutet Bewegung in negativer Richtung. Null-Steigung impliziert einen Ruhezustand. Geschwindigkeitszeit Die wichtigste Sache, sich an Geschwindigkeits-Zeit-Graphen zu erinnern, ist, dass sie Geschwindigkeits-Zeit-Graphen sind, nicht Verschiebungszeit-Graphen. Es gibt etwas über eine Liniendiagramm, dass die Leute denken, dass sie den Weg eines Objekts betrachten. Ein häufiger Anfängerfehler ist, den Graphen nach rechts zu betrachten und denke, dass die v 9.0 ms Linie einem Objekt entspricht, das quothigherquot ist als die anderen Objekte. Denken Sie nicht so. Es ist falsch. Sehen Sie sich diese Graphen nicht an und denken Sie an sie als Bild eines bewegten Objekts. Stattdessen denken sie an sie als die Aufzeichnung einer Objektgeschwindigkeit. In diesen Graphen bedeutet höher schneller nicht weiter. Die v 9.0 ms Linie ist höher, weil dieses Objekt schneller als die anderen bewegt. Diese besonderen Graphen sind alle horizontal. Die Anfangsgeschwindigkeit jedes Objekts ist die gleiche wie die endgültige Geschwindigkeit ist die gleiche wie jede Geschwindigkeit dazwischen. Die Geschwindigkeit jedes dieser Objekte ist während dieses zehn Sekunden-Intervalls konstant. Im Vergleich dazu, wenn die Kurve auf einem Geschwindigkeitszeitdiagramm gerade, aber nicht horizontal ist, ändert sich die Geschwindigkeit. Die drei Kurven nach rechts haben jeweils einen anderen Hang. Der Graph mit dem steilsten Hang erlebt die schnellste Geschwindigkeitsänderung. Das Objekt hat die größte Beschleunigung. Vergleichen Sie die Geschwindigkeitszeitgleichung für die konstante Beschleunigung mit der klassischen Slope-Intercept-Gleichung, die in der Einführungsalgebra gelehrt wird. Sieben Tangenten wurden zu unserem generischen Geschwindigkeitszeitdiagramm in der oben gezeigten Animation hinzugefügt. Beachten Sie, dass die Steigung zweimal zweimal 8212 einmal an der Oberseite der Bump bei 3,0 s und wieder in der Unterseite der Delle bei 6,5 s ist. Die Steigung einer horizontalen Linie ist null, was bedeutet, dass das Objekt zu diesem Zeitpunkt sofort aufhörte zu beschleunigen. Die Beschleunigung könnte bei diesen beiden Zeiten null gewesen sein, aber das bedeutet nicht, dass das Objekt gestoppt wurde. Damit das auftritt, muss die Kurve die horizontale Achse abfangen. Dies geschah nur einmal 8212 am Anfang des Graphen. Zu beiden Zeiten, als die Beschleunigung null war, bewegte sich das Objekt noch in der positiven Richtung. Sie sollten auch feststellen, dass die Steigung von 3,0 s auf 6,5 s negativ war. Während dieser Zeit sank die Geschwindigkeit. Das stimmt aber nicht im Allgemeinen. Geschwindigkeit verringert sich, wenn die Kurve zum Ursprung zurückkehrt. Über der horizontalen Achse wäre das eine negative Steigung, aber unterhalb dieser wäre ein positiver Hang. Über die einzige Sache, die man über eine negative Steigung auf einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm sagen kann, ist, dass während eines solchen Intervalls die Geschwindigkeit immer negativer wird (oder weniger positiv, wenn man es vorzieht). Bei einer Geschwindigkeitszeitgrafik bedeutet positive Steigung eine Erhöhung der Geschwindigkeit in positiver Richtung. Negative Neigung bedeutet eine Erhöhung der Geschwindigkeit in negativer Richtung. Null-Steigung impliziert Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. In der Kinematik gibt es drei Größen: Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Bei einer graphischen Darstellung dieser Größen ist es immer möglich, die beiden anderen grundsätzlich zu bestimmen. Beschleunigung ist die zeitliche Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung, so dass sich aus der Steigung einer Tangente zur Kurve auf einem Geschwindigkeitszeitdiagramm ergibt. Aber wie könnte Verschiebung bestimmt werden Lets erforschen einige einfache Beispiele und dann ableiten die Beziehung. Beginnen Sie mit dem rechts abgebildeten einfachen Geschwindigkeits-Diagramm. (Aus Gründen der Einfachheit geht man davon aus, dass die anfängliche Verschiebung Null ist.) Es gibt drei wichtige Intervalle auf diesem Diagramm. In jedem Intervall ist die Beschleunigung konstant, wenn die Geradensegmente zeigen. Wenn die Beschleunigung konstant ist, ist die mittlere Geschwindigkeit nur der Mittelwert der Anfangs - und Endwerte in einem Intervall. 0-4 s: Dieses Segment ist dreieckig. Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte der Basis mal der Höhe. Im Wesentlichen haben wir gerade die Fläche des dreieckigen Segments auf diesem Diagramm berechnet. Die kumulative Strecke, die am Ende dieses Intervalls zurückgelegt wird, beträgt 16 m 36 m 20 m 72 m Ich hoffe jetzt, dass Sie den Trend sehen. Die Fläche unter jedem Segment ist die Änderung der Verschiebung des Objekts während dieses Intervalls. Dies gilt auch dann, wenn die Beschleunigung nicht konstant ist. Jeder, der einen Kalkülkurs genommen hat, sollte das wissen, bevor er ihn hier liest (oder zumindest, wenn sie es lesen, hätten sie sagen sollen, ja, ich erinnere mich daran). Die erste Ableitung der Verschiebung in bezug auf die Zeit ist die Geschwindigkeit. Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung einer Linie, die tangential zu ihrer Kurve an einem gegebenen Punkt ist. Der umgekehrte Betrieb der Ableitung wird als Integral bezeichnet. Das Integral einer Funktion ist der kumulative Bereich zwischen der Kurve und der horizontalen Achse über ein gewisses Intervall. Diese umgekehrte Beziehung zwischen den Handlungen von Derivat (Hang) und Integral (Bereich) ist so wichtig, dass es den Grundsatz des Kalküls genannt wird. Das bedeutet, dass es eine wichtige Beziehung ist. Erfahren Sie es, Du hast das letzte gesehen. Bei einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ist der Bereich unter der Kurve gleich der Änderung der Verschiebung. Beschleunigungszeit Das Beschleunigungszeitdiagramm eines beliebigen Objektes, das mit einer konstanten Geschwindigkeit fährt, ist dasselbe. Dies gilt unabhängig von der Geschwindigkeit des Objekts. Ein Flugzeug, das mit einer konstanten Höhe von 5 km / h fliegt, ein Faultier mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 km / h und eine Couchkartoffel, die stundenlang vor dem Fernseher liegt, haben alle die gleichen Beschleunigungszeit-Graphen 8212 Eine horizontale Linie kollinear mit der horizontalen Achse. Das ist, weil die Geschwindigkeit jedes dieser Objekte konstant ist. Sie beschleunigen nicht. Ihre Beschleunigungen sind null. Wie bei den Geschwindigkeitszeit-Graphen ist die Wichtigkeit, dass die Höhe über der horizontalen Achse nicht der Position oder Geschwindigkeit entspricht, sie entspricht der Beschleunigung. Wenn Sie aussteigen und auf Ihren Weg zur Schule fallen, ist Ihre Beschleunigung zum Boden größer als Sie Erfahrung in allen, aber ein paar Hochleistungsautos mit dem Zapfen zum Metallquot. Beschleunigung und Geschwindigkeit sind unterschiedliche Größen. Schnell zu gehen bedeutet nicht schnell beschleunigen Die beiden Größen sind unabhängig voneinander. Eine große Beschleunigung entspricht einer schnellen Geschwindigkeitsänderung, aber sie erzählt nichts von den Werten der Geschwindigkeit selbst. Wenn die Beschleunigung konstant ist, ist die Beschleunigungszeitkurve eine horizontale Linie. Die Geschwindigkeit der Beschleunigung mit der Zeit ist eine sinnlose Größe, so dass die Steigung der Kurve auf dieser Grafik auch bedeutungslos ist. Beschleunigung muss nicht konstant sein, aber die Zeitrate der Änderung dieser Zahl hat keinen Namen. Auf der Oberfläche kann die einzige Information, die man aus einem Beschleunigungszeitdiagramm herausholen kann, die Beschleunigung zu einem gegebenen Zeitpunkt sein. Bei einer Beschleunigungszeit ist die Graphensteigung bedeutungslos. Der quittierungsabschnitts entspricht der anfangsbeschleunigung. Wenn zwei Kurven zusammenfallen, haben die beiden Objekte zu diesem Zeitpunkt die gleiche Beschleunigung. Ein Objekt, das einer konstanten Beschleunigung unterliegt, verfolgt eine horizontale Linie. Null-Steigung impliziert Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Beschleunigung ist die Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung mit der Zeit. Das Umwandeln eines Geschwindigkeitszeitgraphen in ein Beschleunigungszeitdiagramm bedeutet das Berechnen der Steigung einer Linie, die tangential zur Kurve an irgendeinem Punkt ist. (Im Kalkül heißt das heißt, das Derivat zu finden.) Der umgekehrte Prozeß beinhaltet die Berechnung des kumulativen Bereichs unter der Kurve. (In Kalkül heißt das heißt, das Integral zu finden.) Diese Zahl ist dann die Wertänderung auf einem Geschwindigkeitszeitdiagramm. Angesichts einer anfänglichen Geschwindigkeit von Null (und vorausgesetzt, dass unten positiv ist), ist die endgültige Geschwindigkeit der Person, die in den Graphen nach rechts fällt, Graphs of MotionEconomic Interpretation von Kalksteinoperationen - univariate Slope als marginale Änderungsrate Ein sehr klarer Weg zu sehen Wie Kalkül uns hilft, ökonomische Informationen und Beziehungen zu interpretieren, ist, die Gesamt-, Durchschnitts - und Randfunktionen zu vergleichen. Nehmen wir zum Beispiel eine Gesamtkostenfunktion, TC: Für einen gegebenen Wert von Q, sagen wir Q10, können wir diese Funktion als uns erklären, dass: Wenn wir 10 Einheiten dieses Gutes produzieren, sind die Gesamtkosten 190. Wir möchten Um mehr darüber zu erfahren, wie sich die Kosten über den Produktionszyklus entwickeln, so berechnen wir die durchschnittlichen Kosten, die Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Einheiten geteilt werden, oder Q: Deshalb, wenn wir 10 Einheiten dieses Gutes produzieren, sind die durchschnittlichen Kosten pro Einheit 19. Das ist aber etwas trügerisch, denn wir wissen immer noch nicht, wie sich die Kosten entwickeln oder ändern, wenn wir produzieren. Zum Beispiel kostet die erste Einheit (Q 1) 10 zu produzieren. Offensichtlich, wenn der Durchschnitt endet 19, und die erste Einheit kostet 10, dann müssen die Kosten für die Herstellung einer Einheit ändern, wie wir produzieren verschiedene Einheiten. Alternativ, um technischer zu sein, ist die Änderung der Gesamtkosten bei jedem Wechsel von Q nicht gleich. Lasst uns diese Änderung der Gesamtkosten für eine gegebene Änderung in Q als Grenzkosten definieren. Klang vertraut Die Steigung ist definiert als die Änderungsrate der Y-Variablen (Gesamtkosten in diesem Fall) für eine gegebene Änderung der X-Variablen (Q oder Einheiten des Gutes). Daher kann die Einnahme der ersten Ableitung oder die Berechnung der Formel für die Steigung die Grenzkosten für ein bestimmtes Gut bestimmen. Was ist mit der Veränderung der Grenzkosten Auf diese Weise können wir nicht nur die Kosten auf einer bestimmten Ebene bewerten, aber wir können sehen, wie sich unsere Grenzkosten ändern, wenn wir unser Produktionsniveau erhöhen oder verringern. Dank unserem Kalkülhintergrund ist klar, dass die Änderung der Grenzkosten oder die Änderung der Steigung durch die zweite Ableitung berechnet werden kann. Diese drei Gleichungen geben uns jetzt eine beträchtliche Menge an Informationen über den Kostenprozess in einem sehr klaren Format. Zum Beispiel berechnen die Grenzkosten für die Herstellung der 100. Einheit dieses Gutes. Nun, nehmen Sie an, Ihr Chef möchte, dass Sie die Kosten für die 101. Einheit prognostizieren. Sie können die Grenzkosten neu berechnen, oder Sie können feststellen, dass die zweite Ableitung Ihnen mitteilt, dass die Grenzkosten voraussichtlich um eine Erhöhung von zwei zu ändern sind, für jede einzelne Einheit in Q. Daher können Sie mit einer Funktion beginnen , Nehmen die ersten und zweiten Ableitungen und haben sehr viele Informationen über die Beziehung zwischen den Variablen, einschließlich der Gesamtwerte, Änderungen der Gesamtwerte und Änderungen der Grenzwerte. Merkmale von relativen und absoluten Maxima und Minima Die ersten und zweiten Ableitungen können auch verwendet werden, um maximale und minimale Punkte einer Funktion zu suchen. Zum Beispiel könnten die wirtschaftlichen Ziele die Maximierung des Profits, die Minimierung der Kosten oder die Maximierung des Nutzens unter anderem umfassen. Um die Eigenschaften der optimalen Punkte zu verstehen, beginnen Sie mit den Merkmalen der Funktion selbst. Eine Funktion an einem gegebenen Punkt wird als konkav definiert, wenn die Funktion unterhalb der Tangentenlinie nahe diesem Punkt liegt. Um zu klären, stellen Sie sich einen Graphen einer Parabel vor, die sich nach unten öffnet. Nun betrachten wir den Punkt an der Spitze der Parabel. Definitionsgemäß wäre eine Linie, die tangential zu diesem Punkt eine horizontale Linie wäre. Es ist klar, dass der Graphen des oberen Teils der Parabel in der Nachbarschaft des Punktes alle unterhalb der Tangentenlinie liegt, daher ist der Graph in der Nähe dieses Punktes konkav. Beachten Sie, wie viel Sorgfalt geübt wird, um die Diskussion der Konkavität auf den Teil der Funktion in der Nähe des Punktes, der betrachtet wird, zu begrenzen. Angenommen, die Funktion ist ein Polynom höherer Ordnung, eine, die die Form einer Kurve mit 2 oder mehr Wendepunkten annimmt. Es wäre leicht, sich eine Funktion vorzustellen, bei der ein Teil unterhalb der horizontalen Tangentenlinie stand, wieder umgedreht und kam an der Reihe zurück. Die Definition der Konkavität bezieht sich nur auf den Teil der Funktion nahe dem Punkt, an dem die Tangentenlinie die Kurve berührt, es ist nicht erforderlich, überall auf der Kurve zu halten. Betrachten Sie die Tangentenlinie selbst. Rückruf aus dem letzten Abschnitt auf lineare Funktionen, dass die Steigung einer horizontalen Linie oder Funktion gleich Null ist. Daher muss die Steigung am oberen oder Wendepunkt dieser konkaven Funktion Null sein. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ist, den Graphen links vom Wendepunkt zu betrachten. Beachten Sie, dass die Funktion nach oben geneigt ist, dh eine Steigung größer als Null hat. Der Abschnitt des Graphen rechts vom Wendepunkt ist nach unten geneigt und hat eine negative Steigung oder eine Steigung kleiner als Null. Wenn du den Graphen von links nach rechts betrachtest, kannst du sehen, dass die Steigung zuerst positiv ist, wird eine kleinere positive Zahl, je näher man zum Wendepunkt kommt, ist negativ zum Recht des Wendepunktes und wird ein größeres Negativ Nummer, je weiter du vom Wendepunkt aus reist. Da dies eine stetige Funktion ist, muss es einen Punkt geben, an dem die Steigung von positiv nach negativ kreuzt. Mit anderen Worten, für einen Augenblick muss die Steigung null sein. Dieser Punkt haben wir bereits als Wendepunkt identifiziert. Es gibt einen viel einfacheren Weg zu identifizieren, was los ist, aber. Erinnern Sie sich, dass zweite Ableitungen Informationen über die Änderung der Steigung geben. Wir können das in Verbindung mit der ersten Ableitung an steigenden Punkten von x verwenden (wie du nach rechts auf den Graphen reist), um die Identifikationsmerkmale von Funktionen zu bestimmen. Betrachten Sie z. B. die folgende Funktion und ihren Graphen: Beachten Sie, dass eine negative zweite Ableitung bedeutet, dass die erste Ableitung für eine gegebene (positive) Änderung in x immer abnimmt, dh wenn x zunimmt (immer das Graphen von links nach rechts ). Wenn die erste Ableitung immer abnimmt, und wir wissen, dass sie am Wendepunkt null geht, dann muss es der Fall sein, dass die Funktion in der Nachbarschaft des Wendepunktes konkav ist - d. h. Der Wendepunkt ist ein maximaler Punkt. Um dieses Resultat vollständig zu schätzen, betrachten wir das Gegenteil - eine konvexe Funktion, d. h. eine Funktion, die über der Linie liegt, die tangential zum Wendepunkt ist, in der Nachbarschaft dieses Punktes. Bewegen von links nach rechts, beachten Sie, dass die Steigung negativ ist, geht durch Null am Wendepunkt, dann wird positiv. Daher würden wir erwarten, daß die zugrunde liegende Funktion eine ist, bei der die erste Ableitung am Wendepunkt null ist, mit einer positiven zweiten Ableitung in der Nachbarschaft des Wendepunktes, was eine zunehmende Steigung anzeigt. Diese beiden Bedingungen sind charakteristisch für eine Funktion mit einem minimalen Punkt. Nicht nur diese Merkmale von Abschnitten erster und zweiter Ordnung beschreiben Funktionen mit maximalen und minimalen Punkten, aber sie reichen aus, um zu beweisen, dass die betrachteten Punkte maximale oder minimale Punkte sind. Wir beurteilen die Eigenschaften: Ein relatives Minimum am Punkt xa hat die Ableitungen f (a) 0 und f (a) gt 0. Ein relatives Maximum am Punkt xa hat die Ableitungen f (a) 0 und f (a) lt 0 Hinweis: Das Wort relativ wird verwendet, um einen maximalen oder minimalen Punkt in der Nachbarschaft des Punktes (xa) anzuzeigen. Nur wenn es bewiesen werden kann, dass ein und nur ein max oder min existiert, kann man es als absoluten optimalen Punkt betrachten. Für unsere Zwecke wird dies nur dann geschehen, wenn die zweite Ableitung eine Konstante ist, dh die Funktion geht nur einmal durch den Wendepunkt und hat daher nur ein Maximum oder Minimum. Unbeschränkte Optimierung Jetzt können wir die Differenzierung nutzen, um so viele Informationen über die Funktionsmerkmale zu sammeln. Die Optimierung der ökonomischen Funktionen wird sehr einfach sein. Bei einer kontinuierlichen, differenzierbaren Funktion folgen Sie diesen Schritten, um das relative Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden: 1. Nehmen Sie die erste Ableitung einer Funktion und finden Sie die Funktion für die Steilheit. 2. Setzen Sie dydx gleich Null und lösen Sie für x, um den kritischen Punkt oder Punkte zu erhalten. Dies ist der notwendige Zustand erster Ordnung. 3. Nehmen Sie die zweite Ableitung der ursprünglichen Funktion. 4. Ersetzen Sie das x aus Schritt 2 in die zweite Ableitung und lösen Sie, wobei Sie besonders auf das Vorzeichen der zweiten Ableitung achten. Dies ist auch bekannt, um die zweite Ableitung an dem kritischen Punkt (s) auszuwerten, und liefert die ausreichende Bedingung zweiter Ordnung. 5. Verwenden Sie die folgenden Merkmale, um festzustellen, ob die Funktion, die an der kritischen Stelle oder Punkte ausgewertet wird, ein relatives Maximum oder Minimum ist: Sie werden wahrscheinlich immer auf Funktionen üben, in denen das Maximum oder Minimum existiert, aber denken Sie daran, dass Sie öffentlich sein werden Politik in der realen Welt. Gerade weil Sie nach einer Menge suchen, die den Gewinn optimiert oder das Produktionsniveau, das die Kosten minimiert, bedeutet nicht, dass es tatsächlich existiert. Darum müssen Sie immer alle Schritte befolgen und alle Ergebnisse mit den notwendigen und ausreichenden Bedingungen bestätigen. (Vor allem, um sicherzustellen, dass Ihr optimaler Punkt ist die Art, die Sie benötigen, d. h. ein max, wenn youre maximieren und ein min, wenn youre minimieren) Betrachten Sie die folgenden Beispiele. Beispiel 1: Finden Sie die kritischen Werte der folgenden Funktion und testen Sie, ob die Funktion konvex oder konkav ist und ein relatives Maximum oder Minimum hat: Lösung 1: Nehmen Sie die erste Ableitung und vereinfachen Sie sie und lösen Sie dann den kritischen Wert. Dies ist der Wert von x, bei dem die Steigung der Funktion gleich Null ist: Auswerten der Funktion an dem oben definierten kritischen Punkt (dies ist kein notwendiger Schritt, sondern für die Praxis und der Kontext gut zu lösen): Jetzt bestimmen Die zweite Ableitung und bewerten sie am kritischen Punkt: Die zweite Ableitung ist immer negativ, unabhängig vom Wert von x. Das gibt uns zwei Informationen. Erstens, dass die Funktion ein relatives Maximum hat (d. h. konkav), und zweitens, dass die konstante zweite Ableitung einen einzigen Wendepunkt impliziert, und daher ist das relative Maximum auch ein absolutes Maximum. Beispiel 2: Angesichts der folgenden Gesamtkostenfunktion bestimmen Sie den Produktionsstandard, der die Durchschnittskosten minimiert, und das Niveau, das die Grenzkosten minimiert: Lösung 2: Umwandlung der Gesamtkostenfunktion in eine durchschnittliche Kostenfunktion durch Division durch Q: Um die durchschnittliche Kostenfunktion zu minimieren, folgen Sie den oben aufgeführten Schritten. Beginnen Sie mit der ersten Ableitung, indem Sie sie gleich Null setzen und für kritische Punkte lösen. Q: Wenn Q 12 die durchschnittliche Kostenfunktion eine relative Optima erreicht, testen wir nun auf Konkavität, indem wir die zweite Ableitung der Durchschnittskosten nehmen: Beachten Sie die zweite Ableitung Ist für alle Werte von Q positiv, einschließlich des kritischen Punktes Q12, also durch den Test zweiter Ordnung, die Funktion hat ein relatives Minimum am kritischen Punkt. Da die zweite Ableitung konstant ist, ist auch das relative Minimum ein absolutes Minimum. Beachten Sie, dass wir in der Lage waren zu beweisen, dass die durchschnittlichen Kosten minimiert werden, wenn Q 12 ist, ohne tatsächlich die durchschnittlichen Kosten zu bestimmen. Jetzt, um die Grenzkosten zu minimieren. Von der ursprünglichen Funktion Gesamtkosten, nehmen Sie die erste Ableitung, um die Funktion für die Steigung oder Rate der Änderung der Gesamtkosten für eine gegebene Änderung in Q, auch bekannt als Grenzkosten. Nun folgen Sie den Schritten, um die Grenzkostenfunktion zu minimieren. Obwohl MC die Funktion für die Steigung der Gesamtkosten ist, ignorieren Sie das und behandeln Sie es als eigenständige Funktion und nehmen Sie die ersten und zweiten Auftragsderivate nach den Schritten der Optimierung. Wenn Q gleich 8 ist, wird die MC-Funktion optimiert. Test für max oder min: Die zweite Ableitung von MC ist für alle Werte von Q positiv, daher ist die MC-Funktion konvex und liegt bei einem relativen Minimum, wenn q gleich 8 ist. Beispiel 3: Finden Sie die optimalen Punkte der Profitfunktion Und bestimmen, welches Niveau der Produktion Q den Gewinn maximieren wird. Beginnen Sie mit der ersten und zweiten Ableitung: Setzen Sie die erste Ableitung gleich Null und lösen Sie für kritische Punkte: Verwenden Sie die quadratische Gleichung Technik, um die obige Gleichung zu lösen. Beachten Sie, dass es zwei kritische Punkte gibt, aber aus ökonomischer Sicht steht uns nur eine als Lösung für unser Problem zur Verfügung, da wir keine negative Menge erzeugen können. Bewerten Sie die zweite Ableitung bei Q gleich 24, um die Konkavität zu bestimmen. Die zweite Ableitung ist kleiner als Null, was bedeutet, dass unsere Funktion konkav ist und ein relatives Maximum hat, wenn Q gleich 24 ist. Eine letzte Anmerkung: Der Titel dieses Abschnitts war eine uneingeschränkte Optimierung. Das Wort unbeschränkt bezieht sich auf die Tatsache, dass wir keine Einschränkungen für die funktionalen Beziehungen, die wir optimieren platziert. Mit anderen Worten, wir haben angenommen, dass jeder Level der x-Variablen für uns verfügbar war, mit der realen Welt Ausnahme von negativen Werten der physikalischen Größen (Rückruf Q -40 wurde ausgeschlossen). Natürlich ist das nicht realistisch, und da unsere Modelle im multivariaten Bereich realistischer werden, werden wir unsere Optimierungsprobleme einschränken. Es gibt keinen Sinn, die optimierte Optimierung in univariaten Prozessen zu tun, weil es immer einfacher ist, die Einschränkung innerhalb einer der Gleichungen einzubetten und denselben Prozess zu verwenden, wie in diesem Abschnitt beschrieben.100 Jahre Börsengeschichte (Loggraph) In Zeiten des Aufruhrs , Wie eine Finanzkrise, suche ich nach einem dieser großen Charts mit einem Pfeil, der sagt, 8220Sie sind hier.8221 Es ist in diesem Geist, dass ich die folgenden Langzeit-Log-Diagramm zusammenfassen über 100 Jahre DJIA (Dow Jones Industrial Average) Leistungsverlauf. Ich werde die meisten meiner Analyse bis später verschieben, und für diesen Beitrag verlassen sich vor allem auf das, was einer meiner Statistik-Professoren nannte 8220interokulare trauma.8221 Dow Jones 100-jährige Börse Geschichte Chart Dow Index 100-Jahres-Geschichte Chart Börse Performance seit 1900 hat sich zwischen Aufregung und Desinterest abgesetzt ist ein Diagramm der Börse (Dow Jones) Leistung seit 1900 (klicken Sie auf das Bild, um es zu vergrößern). Es zeigt die Jahresend-Schlusskurse bis 2012. (Siehe jährliche Renditen für ein Balkendiagramm der Renditen jedes Jahr.) Während einige diese Geschichte als einen stetigen langfristigen Aufwärtstrend beschreiben, scheint es mir, abwechselnde Perioden der Aufregung zu zeigen Desinteresse Zum Beispiel waren die Perioden von 821733 bis 821765 und von 821782 bis 821799 Perioden der Aufregung. Von 821733 bis 821765 betrug die durchschnittliche Rendite etwa 7 pro Jahr plus Dividenden - für insgesamt ca. 10. Von 821782 bis 821799 betrug die durchschnittliche Rendite etwa 15 pro Jahr, wieder plus Dividenden 8211, obwohl die Dividenden in den letzten Jahrzehnten deutlich kleiner waren als Sie waren in früheren Jahrzehnten. Die Long-Flat-Perioden Auf der anderen Seite wurde die 1905-Schliessung von 96 nicht dauerhaft verfinstert, bis 28 Jahre später - 1933 die 1965-Schließung von 969 wurde nicht dauerhaft bis 17 Jahre später - 1982 verfinstert. Ich verwende das Wort 8220disinterest8221, um diese zu charakterisieren Lange flache Perioden. (Anmerkung: Dies ist ein Log-Diagramm. Wenn Sie nicht mit ihnen vertraut sind, finden Sie unter Börsen-Log-Graphen.) Langfristig würden Sie erwarten, dass die Börsenperformance die Performance der zugrunde liegenden Unternehmen annähern sollte. Daher ist eine offensichtliche Interpretation des Charts, dass die Börse in regelmäßigen Abständen vor sich geht, indem sie schneller als die zugrunde liegenden Unternehmen zunimmt und dann auf den Wert der zugrunde liegenden Unternehmen warten muss, um während der langen, flachen Perioden von 8220disinteresses aufzuholen .8221 Wenn das der Fall ist, könnten wir gut in einer anderen jener Perioden von 8220disinterest8221 sein - wenn Sie also in einer jener Perioden tatsächlich sind, können Sie andere Wörter mehr beschreiben8230 finden. Anmerkung: Das obige Diagramm und die Diskussion ignoriert die Auswirkungen der Inflation. Um die für die Inflation angepassten Langzeitperioden zu sehen, siehe 100 Jahre Inflationsbereinigte Börsengeschichte. Warnung: nicht für schwache Nerven Das monatliche Update, Verstärker Hinzufügen des 25-jährigen Moving Average als Support Level Der Börsengangspräsentag im März 2013 beinhaltet eine Rekapitale des letzten Monats und des Jahres, sowie Vergleiche zu wichtigen Meilensteine wie Allzeithochs und Crash-Tiefs. Darüber hinaus umfasst es die jüngste Projektion für 10-jährige Marktrenditen. Der 25-jährige gleitende Durchschnitt kann eine nützliche Ergänzung zu dem obigen Graphen sein. Wie in Dow 25-Year Moving Average History diskutiert. Der Markt ist sehr selten unter seinen 25-jährigen gleitenden Durchschnitt gefallen. Das heißt, historisch gesehen ist dieser gleitende Durchschnitt ein sicheres Unterstützungsniveau während der weltlichen Bärenmärkte. Dieser Graph wird nach Bedarf nur selten aktualisiert. Oh, was ist 8220interokulare trauma8221 Es war der verstorbene Professor Harry Roberts8217 Art zu sagen 8220it trifft Sie direkt zwischen den Augen.8221 Empfohlene Lesung: Andere langfristige Perspektive Beiträge 100 Jahre Treasury Bond Zinssätze. Ähnliche Perspektive auf Zinssätze. Inflation-bereinigte Börsengeschichte. Wie dieser Beitrag, aber für die Inflation angepasst. Und eine weitere augenöffnende Perspektive auf die langen flachen Perioden. 100 Jahre Wohnungspreis Geschichte. Grafik des Wohnungspreisindex seit 1900. Vergleich von Wohnraum vs. Börsenwachstum. Zeigt langfristiges Börsenwachstum einschließlich reinvestierter Dividenden (die Grafik oben schließt Dividenden aus). Dow jährliche Rückkehr Geschichte. Balkendiagramm der jährlichen Gesamtrendite (d. H. Einschließlich Dividenden) ab 1929. Dow PriceEarnings Ratio Geschichte Seit 1929 - Jährliche Grafik. Ähnliche Perspektive auf PE-Verhältnis. Näherer Blick auf Blasen, abwechselnd Aufregungdisinterest, Verstärker lange flache Perioden Chart von 1929 Börsencrash für einen genaueren Blick auf 1929-1932. Die 25 besten amp schlimmsten jährlichen Börsenrenditen. Ein genauerer Blick auf 1 Jahr Rückkehr. Ausleihungen aus der Zukunft. Der Preis der außerordentlichen laufenden Leistung kann vermindert werden zukünftige Renditen. Dow Index Inflation-Adjusted Schließen Geschichte. Einfluss der Inflationsanpassung auf die langen flachen Perioden. Die Zusammensetzung der 10-jährigen Rückkehr. Zusätzliche Perspektive auf die abwechselnde Aufregung und das Desinteresse-Phänomen. Irrationaler Überschuss. Robert Shiller8217s Buch diskutieren die Ursachen der Blasen, und die Vorbereitung der Bersten der Tech-Blase im Jahr 2000. Whos Angst vor einem Seitenmarkt. Interessante Perspektive auf lange flache Perioden von Morningstar. Für andere populäre Beiträge, sehen Sie die Seitenleiste links oder den Blog-Header. Daten und Berechnungen Für diejenigen, die eine zusätzliche Analyse durchführen möchten, sehen Sie diesen Beitrag für einen Link zu meinen Dow Jones jährlichen Schlussdaten und den dazugehörigen Berechnungen. Die Kalkulationstabelle berechnet automatisch die Dows-Wachstumsrate zwischen zwei Jahren, die Sie eingegeben haben (z. B. durchschnittliche Börsenrendite zwischen 1982 und 1999, einschließlich Dividenden). Copyright 169 2011. Letzte Änderung: 3302013 Share This Article Bookmark this on Delicious Um über Facebook, Twitter, etc. zu sehen, sehen Sie die Links unten Anon, Die Daten stammen aus einer Kalkulationstabelle, die ich (manuell) einige Zeit in den 1990er Jahren erstellt habe. I39m praktisch sicher, dass die ursprünglichen Daten (bis 1989) von Barron39s Finance amp Investment Handbook (Third Edition) stammten. Daten seitdem ist aus einer Kombination von Barron39s, Morningstar und der Lokalzeitung von wo immer ich damals lebte. Ich vermute, das hilft dir nicht sehr. Also, ich sehe, ob ich herausfinden kann, wie man eine Kalkulationstabelle platziert. Es kann eine Weile dauern. Die Zentralbank hat rücksichtslos eine enorme Blase entworfen, um ab den 1980er Jahren zu beginnen, so groß, dass sie die 192039s-Blase zappelt. Jemand, der denkt, dass wir uns nicht mehr herausfinden müssen, muss die Fakten noch einmal untersuchen. Alle gegenwärtigen Versuche, diese Blase neu aufzublasen, wie z. B. Steuerzahler, die Auto-, Haus - und Appliance-Verkäufe subventioniert haben, werden nur den Tag beschleunigen, wenn die ehemaligen Vereinigten Staaten der Welt gnädig sind. Ich bin mit Ihrer Analyse bis zu dem Punkt einverstanden, dass wir jetzt sind. Allerdings ist das Problem, dass wir Versand Jobs in Übersee mit einer alarmierenden Rate. Was früher amerikanische Unternehmen waren, sind jetzt multinational, und diese Unternehmen haben Operationen nach China und anderswo verlagert. Langfristig, wenn sich dieser Trend ausdehnt, werden die USA mit Deflation konfrontiert sein, wenn die Werte sinken und die Löhne sinken. Gleichzeitig hat die amerikanische Regierung die meisten der nach der Großen Depression eingesetzten Schutzmaßnahmen beseitigt und damit in die Lage versetzt, Banken und Vermittlungshäuser zu versagen. Es sei denn, die Vorschriften machen Banken, Banken und Begrenzung ihrer Größe und Funktion, und Vermittlungshäuser sind nicht erlaubt, Banken zu sein, wird unser Finanzsystem nicht gesund sein. Viel Schätzen Sie Ihre Analyse hier. Es ist jetzt über ein Jahr später, wie denkst du, die Situation hat sich geändert I39m nicht sicher, dass ich deine Frage verstehe, aber ich versuche trotzdem zu antworten. Der Wert des Betrachtens von 100-Jahres-Charts ist, dass ein zusätzliches Jahr sich nicht sehr verändert. Das ist der Vorteil, die Geschichte aus dieser breiten Perspektive zu betrachten. Wenn ich das 100-Jahres-Chart am Ende des Jahres aktualisiere, ist es für mich gewollt, sich von der Art, wie es vor einem Jahr aussah, deutlich zu sehen. Infolgedessen ist meine Interpretation wahrscheinlich dieselbe - ich sehe immer noch die Börsengeschichte, die sich aus Perioden der Aufregung zusammensetzt, gefolgt von einem langfristigen (relativ) flachen Zeitraum, in dem die zugrunde liegenden Unternehmen einen bisher euphorischen Aktienmarkt einholen müssen. Also würde ich nicht überrascht sein, wenn jahrelang eine gleichgesinnte Seele, die eine ähnliche Analyse macht, eine ähnliche Schlussfolgerung fand. In diesem Sinne ist die Situation unverändert. Aber verstehe, dass das, was im Nachhinein aussieht, nicht unbedingt so fühlt, wenn du in der Mitte davon bist. Zum Beispiel waren 1973-74 schreckliche Jahre für die Börse 1975-76 waren sehr nett. Im Nachhinein, unter der großen Ansicht, waren all jene Jahre Teil einer langen flachen Periode. Also, auch in diesen flachen Perioden gibt es Möglichkeiten, kurzfristig viel Geld zu machen oder zu verlieren. Unter diesem Gesichtspunkt ist klar, dass sich die Situation verändert hat, dass die Investition vor einem Jahr bessere Ergebnisse erzielt hat als die Investition. Ich vermute, du hast das schon gewusst.
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